di David Sasso (docente) – La risposta è in un fiocco di neve! Una rapida ricerca su Internet, pane quotidiano per lo studente 2.0, fornisce un valore di circa 7.500 km. Tra i primi risultati non sembrano esserci difformità, perciò il dato appare affidabile. Peccato che non viene assolutamente specificato il metodo utilizzato per ricavare questo valore e, come vedremo in questo breve articolo, la risposta alla domanda nel titolo non è affatto scontata. È abbastanza evidente che la costa dell’Italia, come di tutti i paesi che hanno il privilegio di affacciarsi sul mare, non ha un profilo semplice, descrivibile con linee rette o curve regolari. Pertanto non possiamo calcolarne la lunghezza per via geometrica, ma dovremo affidarci ad un metodo pratico che consenta di approssimare la linea reale con una serie di segmenti o archi regolari. Il punto è che, così facendo, il risultato finale che troviamo per la lunghezza della costa dipende in modo cruciale dalla suddivisione fatta. Potremmo passeggiare lungo tutta la costa e fissare dei punti “a vista” ogni 100 metri (dallo scoglio al faro, dal faro alla bandiera, dalla bandiera alla casetta, …), oppure contare i passi, i palmi, i cm, … Noteremmo che il risultato varia enormemente da caso a caso. Se avete abbastanza pazienza potete fare un esperimento con Google Earth e approssimare la costa italiana con una serie di poligoni con un numero di vertici via via crescente.   dove M è una costante positiva, D la dimensione frattale (di Hausdorff) della costa. Coste perfettamente lisce hanno dimensione D=1, coste molto frastagliate D=2. Esempi di dimensioni frattali sono i seguenti: ·        Sudafrica, D=1,02 (costa molto regolare) ·        Norvegia, D=1,52 (costa molto irregolare) ·        Polmoni, D=2,97 (profilo estremamente complesso) Mandelbrot non arriva mai a dire che la costa britannica possa avere una lunghezza infinita (risultato a cui si giungerebbe portando la scala a 0), ma sostiene che la migliore descrizione della costa in termini matematici prevede l’utilizzo di figure autosomiglianti, che battezzerà successivamente con il nome “frattali”. Autosomigliante significa che una parte della figura ha proprietà simili all’intera figura. Esempi concreti di oggetti autosomiglianti sono: montagne, nuvole, polmoni, vasi sanguigni, piante (specialmente il cavolfiore), fiocco di neve, …

Curva di Koch

Nell’articolo Mandelbrot studia in modo dettagliato le caratteristiche di una figura, nota come “curva di Koch”. La figura si ottiene eseguendo le seguenti operazioni:   1.   Si disegna un triangolo equilatero; 2.   Si suddivide ciascun lato in tre parti e si sostituisce il segmento centrale con due segmenti della stessa lunghezza; 3.   Si reitera il procedimento per ciascuno dei nuovi segmenti di cui è composta la figura. Se volessimo calcolare la lunghezza della curva dovremmo necessariamente specificare a quale passo ci stiamo riferendo. Supponiamo, infatti, che la lunghezza del lato del triangolo iniziale sia 1. Suddividendo il lato in 3 parti (ciascuna lunga 1/3) e ricomponendolo con 4 segmenti da 1/3, vediamo che la lunghezza della linea spezzata che sostituisce il lato aumenta di un fattore 4/3. Lo stesso avviene ad ogni nuova iterazione. ·        Passo 0: L = 3; ·        Passo 1: L = 3*(4/3) = 4; ·        Passo 2: L = 4*(4/3) = 16/3; ·        Passo 3: L = (16/3)*(4/3) = 64/9; ·        … È chiaro che continuando a moltiplicare il risultato precedente per (4/3) la lunghezza aumenta sempre di più, fino a diventare infinita dopo infinite iterazioni. Per questa curva Mandelbrot ha calcolato una dimensione di Hausdorff pari a ln(4)/ln(3) e ha ritrovato, per la sua lunghezza, la funzione di Richardson. Ecco, dunque, come una curva può avere lunghezza diversa, anche infinita, a seconda del dettaglio con cui la si guarda. Tornando alla costa italiana, la prossima volta che ti imbatti nella sua lunghezza domandati “come è stata misurata?”. Come abbiamo visto, parlando di forme irregolari la risposta alla semplice domanda “quanto è lunga questa linea?” non è affatto scontata!  

David Sasso, professore di Matematica e fisica dell’I.I.S. G. da Catino